複合図形を柱体とみなす体積計算

柱体の体積とはなにか

これまで、L字型などの複雑な立体の体積は、$2$つの直方体に切り分けて足し算をして求めていました。しかし、立体を「同じ形の面が金太郎飴のように積み重なっている柱（柱体）」と見なすことができれば、もっと簡単に体積を求めることができます。

向かい合って平行になっている同じ形の面を「底面」と決め、まずその「底面積」を計算します。あとはそれに「高さ（奥行き）」をかけるだけで、どんな複雑な形でも、円柱でも、1回の掛け算で全体の体積が求められます。

柱体の体積のルール

1. 底面を見つける

立体の中で、向かい合って平行で、全く同じ形（合同）になっている$2$つの面を探し、それを「底面」とします。（※底面は「下にある面」とは限りません。横や前にあることもあります）

2. 底面積を計算する

その底面の面積（底面積）を計算します。

3. 体積の公式

体積＝底面積 $\times$ 高さ

例題

問1

図のような立体の体積を求めましょう。同じ形が向かい合っているL字の面を「底面」として考えます。

問2

底面が円になっている円柱の体積も「底面積 $\times$ 高さ」で求められます。この円柱の体積を求めましょう。底面の円の面積は、$78.5{\text{cm}}^2$ であるとします。

解説

問1

図のL字型の面を「底面」と考えます。底面積が $40{\text{cm}}^2$、高さ（奥行き）が $10$cm なので、「底面積 $\times$ 高さ」の公式に当てはめると、$40\times 10=400$ になります。

答え：$400{\text{cm}}^3$

問2

底面積が $78.5{\text{cm}}^2$、高さが $10$cm なので、「底面積 $\times$ 高さ」の公式に当てはめると、$78.5\times 10=785$ になります。

答え：$785{\text{cm}}^3$

練習問題

問1

底面積が $35{\text{cm}}^2$ で、高さが $8$cmの柱の形をした立体の体積を求めましょう。

問2

三角形の面を底面として、まず底面積を計算してから、立体の体積を求めましょう。

問3

図のように底面がおうぎ形になっている立体の体積を求めましょう。底面のおうぎ形の面積は、$78.5{\text{cm}}^2$ であるとします。

応用問題

問1

穴があいている面を「底面」と考えて底面積を計算し、この立体の体積を求めましょう。なお、内側の小さな円（半径 $5$cm ）の面積を $78.5{\text{cm}}^2$、外側の大きな円（半径 $10$cm ）の面積を $314{\text{cm}}^2$ とします。

問2

この三角柱の体積は $600{\text{cm}}^3$ で、高さは $15$cmです。底面積は何 ${\text{cm}}^2$ ですか。

問3

この円柱の体積は $1570{\text{cm}}^3$ です。この円柱の高さは何cmですか。底面の円の面積は $314{\text{cm}}^2$ であるとします。

解答と解説

練習問題

問1

すでに底面積が分かっているので、そのまま公式に当てはめます。底面積 $\times$ 高さ なので、$35\times 8=280$ になります。

答え：$280{\text{cm}}^3$

問2

まず、底面である三角形の面積を求めます。「底辺 $\times$ 高さ $÷2$」なので、$6\times 4÷2=12{\text{cm}}^2$ になります。この底面積に柱の高さをかけて、$12\times 15=180$ になります。

答え：$180{\text{cm}}^3$

問3

底面積が $78.5{\text{cm}}^2$、高さが $10$cm なので、「底面積 $\times$ 高さ」の公式に当てはめると、$78.5\times 10=785$ になります。

答え：$785{\text{cm}}^3$

応用問題

問1

まず、ドーナツ型になっている底面の面積を求めます。外側の大きな円の面積（ $314$ ）から、くりぬかれた内側の小さな円の面積（ $78.5$ ）を引くと、$314–78.5=235.5{\text{cm}}^2$ になります。この底面積に高さをかけて、$235.5\times 10=2355$ になります。（※全体の大きな円柱の体積から、空洞部分の小さな円柱の体積を引き算しても正解です）

答え：$2355{\text{cm}}^3$

問2

体積の公式「底面積 $\times$ 高さ＝体積」に分かっている数を当てはめると、「底面積 $\times 15=600$」という式になります。底面積を求めるには逆算をして、$600÷15=40$ になります。

答え：$40{\text{cm}}^2$

問3

底面積が $314{\text{cm}}^2$、体積が $1570{\text{cm}}^3$ なので、公式に当てはめると「$314\times$ 高さ $=1570$」となります。逆算をして $1570÷314=5$ と求められます。

答え：5cm