三角形の面積公式（底辺×高さ÷2）

三角形の 面積とは

三角形の面積は、同じ形の三角形を2つ組み合わせて平行四辺形（または長方形）を作ることで導き出せます。組み合わせた平行四辺形の面積は「底辺 $\times$ 高さ」で求められるため、その半分である三角形の面積は「底辺 $\times$ 高さ $÷2$」となります。どの辺を「底辺」にするかによって「高さ」の測る場所が変わることに注意しましょう。

計算の ルール

1. 三角形の面積の公式

三角形の面積を求める公式は、底辺 $\times$ 高さ $÷2$ です。

2. 「高さ」とは

「高さ」は、底辺に対して直角（90度）に交わる直線の長さのことです。

3. 計算の工夫

計算の順序を工夫して、先に「高さ $÷2$」や「底辺 $÷2$」を計算してからかけ算をすると、計算ミスを減らすことができます。

例題

問1

底辺が $6\text{cm}$、高さが $4\text{cm}$ の 三角形の 面積を 求めましょう。

問2

図の 直角三角形の 面積を 求めましょう。計算に 使わない 数に 気をつけましょう。

解説

問1

三角形の面積の公式「底辺 $\times$ 高さ $÷2$」にあてはめて計算します。式は「$6\times 4÷2$」となります。$6\times 4=24$、$24÷2$ をして $12{\text{cm}}^2$ が答えになります。先に「$4÷2$」をしてから「$6\times 2=12$」と計算してもよいですね。 答え：$12{\text{cm}}^2$

問2

直角三角形では、直角をはさむ2つの辺がそれぞれ「底辺」と「高さ」になります。一番長い斜めの辺（$5\text{cm}$）は面積の計算には使いません。式は「$3\times 4÷2$」となり、答えは $6{\text{cm}}^2$ です。計算に使わないダミーの数字に引っかけられないよう気をつけましょう。 答え：$6{\text{cm}}^2$

練習問題

問1

図の 三角形の 面積を 求めましょう。

問2

1マス $1\text{cm}$ です。マス目を 数えて、底辺と 高さを みつけ、面積を 求めましょう。

問3

底辺が $20\text{cm}$、高さが $15\text{cm}$ の 三角形の 面積は 何cm2ですか。

応用問題

問1

面積が $20{\text{cm}}^2$で、底辺が $8\text{cm}$ の 三角形が あります。この 三角形の 高さは 何cmですか。

問2

3つの 三角形の 面積を それぞれ 求めて、比べましょう。どんな ことが 分かりますか。

問3

図形が 横に たおれて います。底辺と 高さを 正しく 見つけて、面積を 求めましょう。

解答と解説

練習問題

問1

公式「底辺 $\times$ 高さ $÷2$」にあてはめると、式は「$5\times 8÷2$」となります。普通に計算しても解けますが、先に「$8÷2=4$」を計算してから「$5\times 4=20$」とすると、計算ミスを減らすことができます。 答え：$20{\text{cm}}^2$

問2

1マスが $1\text{cm}$ なので、図から「底辺が $6\text{cm}$」、「高さが $4\text{cm}$」であると読み取ります。見つけた数値を公式にあてはめると「$6\times 4÷2$」となり、面積は $12{\text{cm}}^2$ になります。 答え：$12{\text{cm}}^2$

問3

公式にあてはめると「$20\times 15÷2$」です。そのまま順番に計算しても良いですが、先に「$20÷2=10$」を計算してから「$10\times 15=150$」と工夫すると、大きな数のかけ算を避けられて、早く正確に答えを出すことができます。 答え：$150{\text{cm}}^2$

応用問題

問1

公式の「底辺 $\times$ 高さ $÷2=$ 面積」にあてはめて、高さを $\square \text{cm}$ として逆算します。「$8\times \square ÷2=20$」という式が成り立ちます。先に $8÷2=4$ を計算すると「$4\times \square =20$」となるので、□に当てはまる数は $20÷4=5$ と求められます。 答え：$5\text{cm}$

問2

3つの三角形はどれも底辺が $2\text{cm}$、高さが $4\text{cm}$ なので、面積はすべて「$2\times 4÷2=4{\text{cm}}^2$」になります。三角形の面積は「底辺と高さ」だけで決まるため、頂点の位置がズレて形が変わっても、底辺と高さの長さが同じであれば面積はずっと変わらないという重要な性質が分かります。 答え：面積はすべて $4{\text{cm}}^2$ になり、形が違っても底辺と高さが同じなら面積は同じになることが分かる

問3

図形が横に倒れていても焦らず、直角に交わっている2つの線を探しましょう。縦の線（$4\text{cm}$）を底辺、横の線（$6\text{cm}$）を高さとして公式にあてはめると、「$4\times 6÷2=12$」となり、答えは $12{\text{cm}}^2$ です。 答え：$12{\text{cm}}^2$