ひし形の面積公式

ひし形の 面積とは

ひし形を対角線で4つの直角三角形に分け、それを並べ替えると大きな長方形（対角線 $\times$ 対角線）のちょうど半分の面積になることがわかります。このように、ひし形の面積は外側を囲む長方形の面積の半分であることから、対角線の長さを使って求めることができます。

計算の ルール

1. ひし形の面積の公式

ひし形の面積を求める公式は、対角線 $\times$ 対角線 $÷2$ です。

2. 「対角線」とは

2本の対角線は、ひし形の中で直角に交わる直線のことです。

例題

問1

対角線の 長さが $8\text{cm}$ と $6\text{cm}$ の ひし形の 面積を 求めましょう。

問2

図に 書かれている 長さを よく見て、対角線全体の 長さを 求めてから 計算しましょう。

解説

問1

ひし形の面積を求める公式「対角線 $\times$ 対角線 $÷2$」にあてはめて計算します。式は「$8\times 6÷2$」となります。$8\times 6=48$、$48÷2$ をして $24{\text{cm}}^2$ が答えになります。先に「$8÷2=4$」をして「$4\times 6=24$」と計算しても良いですね。

答え：$24{\text{cm}}^2$

問2

図に書かれている長さは対角線の「半分」です。公式にあてはめる前に、まずは対角線全体の長さを求めましょう。$4\times 2=8\text{cm}$、$3\times 2=6\text{cm}$ となり、2本の対角線は $8\text{cm}$ と $6\text{cm}$ になります。これを公式にあてはめると「$8\times 6÷2=24$」となり、$24{\text{cm}}^2$ が答えになります。

答え：$24{\text{cm}}^2$

練習問題

問1

図の ひし形の 面積を 求めましょう。

問2

対角線 全体の 長さを 計算してから、ひし形の 面積を 求めましょう。

問3

正方形も ひし形の 仲間です。対角線の 長さが $10\text{cm}$ の 正方形の 面積を 求めましょう。

応用問題

問1

面積が $40$ 平方cmで、一方の 対角線の 長さが $10\text{cm}$ の ひし形が あります。もう一方の 対角線の 長さは 何cmですか。（ヒント：$10\times \square ÷2=40$）

問2

「ひし形の 面積は、対角線 $\times$ 対角線 $÷2$ に なる」理由を、外側の 長方形の 面積と 比べて 説明しましょう。

問3

2つの 対角線の 長さを どちらも 2倍に すると、ひし形の 面積は 何倍に なりますか。

解答と解説

練習問題

問1

公式「対角線 $\times$ 対角線 $÷2$」にそのままあてはめます。式は「$10\times 8÷2$」となり、$80÷2$ で $40{\text{cm}}^2$ が答えになります。

答え：$40{\text{cm}}^2$

問2

図の長さは対角線の半分なので、それぞれを2倍して全体の長さを出します。$5\times 2=10\text{cm}$、$6\times 2=12\text{cm}$ となり、対角線の長さは $10\text{cm}$ と $12\text{cm}$ です。公式にあてはめて「$10\times 12÷2=60$」となり、$60{\text{cm}}^2$ が答えになります。

答え：$60{\text{cm}}^2$

問3

正方形は「対角線が直角に交わる」という性質を持つため、ひし形の仲間として同じ公式を使うことができます。対角線の長さはどちらも $10\text{cm}$ なので、式は「$10\times 10÷2$」となり、$100÷2$ で $50{\text{cm}}^2$ が答えになります。

答え：$50{\text{cm}}^2$

応用問題

問1

公式にあてはめて、もう一方の対角線を $\square \text{cm}$ として逆算します。「$10\times \square ÷2=40$」という式になります。先に $10÷2=5$ を計算すると「$5\times \square =40$」となるので、□にあてはまる数は $40÷5=8$ と求められます。

答え：$8\text{cm}$

問2

「概念説明」で学んだ内容のおさらいです。公式をただ暗記するだけでなく、外側の長方形と比べることで「なぜ $÷2$ が必要なのか」を図から説明できるようにしておきましょう。

答え：例）ひし形の外側をぴったり囲む長方形の面積は「縦（対角線）$\times$ 横（対角線）」で求められます。ひし形はこの長方形のちょうど半分の大きさになっているため、面積は、対角線 $\times$ 対角線 $÷2$ で求められます。

問3

対角線がどちらも2倍になると、外側を囲む長方形の「縦」も「横」も2倍になります。長方形の面積は「2倍 $\times$ 2倍 $=$ 4倍」になるため、その半分であるひし形の面積も同じように4倍になります。例えば対角線が $2\text{cm}$ と $3\text{cm}$ なら面積は $3{\text{cm}}^2$ ですが、それぞれ2倍の $4\text{cm}$ と $6\text{cm}$ にすると面積は $12{\text{cm}}^2$ となり、きちんと4倍になっていますね。

答え：4倍