多角形の内角の和の求め方

多角形の 内角の 和の 求め方とは

五角形、六角形、八角形などの「多角形」の内角の和を求める方法を学びます。多角形は、1つの頂点から対角線を引くことで、いくつの「三角形」に分けられるかを考えることで、簡単に内角の和を計算できます。「三角形の数 $=$ 頂点の数 $–2$」という規則性に気づけば、どんなに角が多い多角形でも「180度 $\times$（角の数 $–2$）」の公式で求められます。

計算の ルール

1. 三角形に分けて考える

多角形の内角の和は、図形を「いくつの三角形に分けられるか」で考えます。

2. 分けられる三角形の数

1つの頂点から対角線を引くと、「角の数 $–2$」個の三角形に分けることができます。（例：六角形なら $6–2=4$ 個の三角形）

3. 多角形の内角の和の公式

多角形の内角の和を求める公式は、180度 $\times$（角の数 $–2$）です。

4. 正多角形の1つの内角

正多角形の1つの内角の大きさは、求めた内角の和を「角の数」で割り算して求めます。

例題

問1

五角形は、1つの 頂点から 対角線を 引くと、いくつの 三角形に 分けられますか。また、五角形の 内角の 和は 何度に なりますか。

問2

六角形の 内角の 和は 何度ですか。三角形が いくつ できるか 考えて 計算しましょう。

解説

問1

五角形には対角線が2本引けて、三角形3個に分けられます。三角形の内角の和は180度なので、3個分で 180度 $\times 3$ をすると540度が答えになります。

答え：3個、540度

問2

六角形には対角線が3本引けて、三角形4個に分けられます。三角形の内角の和は180度なので、4個分で 180度 $\times 4$ をすると720度が答えになります。

答え：720度

練習問題

問1

八角形の 内角の 和は 何度ですか。計算の 式を 書いて 求めましょう。

問2

六角形の 内角の 和を 使って、図の アの 角の 大きさを 求めましょう。

問3

正五角形の 1つの 内角の 大きさは 何度ですか。（ヒント：内角の 和を 5で 割ります）

応用問題

問1

内角の 和が「900度」に なるのは、何角形ですか。（ヒント：$900÷180$ を 計算して みましょう）

問2

内角の 和が「1800度」に なる 多角形は ありますか。もし あれば、何角形か 答えましょう。

問3

正八角形の 1つの 内角の 大きさは 何度ですか。式と 答えを 書きましょう。

解答と解説

練習問題

問1

多角形の内角の和は 180度 $\times$（角の数 $–2$）で求められるので、この式に8を代入すると 180度 $\times (8–2)$ という式が立てられます。計算をすると、1080度という答えが求められます。

答え：180度 $\times (8–2)$、1080度

問2

六角形の内角の和は 180度 $\times (6–2)$ で720度と求められるので、720度から130度と120度と110度と125度と115度を引くとアの角の大きさが120度と求められます。

答え：120度

問3

五角形の内角の和は 180度 $\times (5–2)$ で540度と求められます。正五角形は5つの角の大きさがすべて等しいので、540度を5で割って108度が答えになります。

答え：108度

応用問題

問1

900度 $÷$ 180度 をすると $5$ になります。多角形の内角の和は 180度 $\times$（角の数 $–2$）と表せるので、この式に当てはめて考えると内角の和が900度になる時、角の数 $–2$ が $5$ になります。つまり、角の数が $7$ になるので七角形が答えです。

答え：七角形

問2

1800度 $÷$ 180度 をすると $10$ になります。多角形の内角の和は 180度 $\times$（角の数 $–2$）と表せるので、この式に当てはめて考えると内角の和が1800度になる時、角の数 $–2$ が $10$ になります。つまり、角の数が $12$ になるので十二角形が答えです。

答え：十二角形

問3

正八角形は8個の内角の大きさがすべて等しいので、正八角形の内角の和を8で割ると1つの内角の大きさを求められます。正八角形の内角の和は 180度 $\times (8–2)$ で求められるので、正八角形の1つの内角の大きさを求める式は 180度 $\times (8–2)÷8$ になります。この式を計算すると、180度 $\times 6÷8$ となって135度が答えになります。

答え：180度 $\times (8–2)÷8$、135度