三角形・四角形の内角の和（180・360）

三角形・四角形の 内角の 和とは

どんな形や大きさの三角形でも、3つの内角（内側の角）を切り取って一直線上に並べると、ぴったり一直線（180度）になります。このことから、三角形の内角の和は常に「180度」であることが分かります。また、四角形は対角線を1本引くと2つの三角形に分けることができます。「180度 $\times$ 2」となるため、どんな四角形でも内角の和は常に「360度」になります。これらは角度の計算の基本となる最も重要なきまりです。

計算の ルール

1. 三角形の内角の和

三角形の内角の和は、いつも必ず 180度 です。

2. 三角形の残りの角の求め方

2つの角の大きさが分かっているとき、残りの1つの角は $180–$（わかっている2つの角の和）で求められます。

3. 四角形の内角の和

四角形の内角の和は、いつも必ず 360度 です。（180度 $\times$ 2 $=$ 360度）

4. 四角形の残りの角の求め方

四角形の残りの1つの角は、$360–$（わかっている3つの角の和）で求められます。

例題

問1

図の 三角形で、アの 角の 大きさは 何度ですか。

問2

図の 四角形で、アの 角の 大きさは 何度ですか。

解説

問1

三角形の内角の和は180度なので、180度から60度と50度を引いて70度が答えになります。

答え：70度

問2

四角形の内角の和は360度なので、360度から100度と80度と70度を引いて110度が答えになります。

答え：110度

練習問題

問1

図の アの 角度を 求める 式を 書いて、答えを 求めましょう。

問2

図の アの 角度を 求める 式を 書いて、答えを 求めましょう。

問3

二等辺三角形の 下の 2つの 角は 同じ 大きさです。アの 角度は 何度に なりますか。

応用問題

問1

3つの 角の 大きさが「50度、60度、80度」に なる 三角形は、作る ことが できますか。理由も いっしょに 答えましょう。

問2

図の 三角形で、アの 角の 大きさは 何度ですか。

問3

図の ひし形で、アの 角の 大きさは 何度ですか。（ヒント：アの 角は 2つとも 同じ 大きさです）

解答と解説

練習問題

問1

三角形の内角の和は180度なので、180度から80度と40度を引いて 180度 $–$ 80度 $–$ 40度 を計算すると60度が答えになります。

答え：180度 $–$ 80度 $–$ 40度、60度

問2

四角形の内角の和は360度なので、360度から110度と90度と80度を引いて 360度 $–$ 110度 $–$ 90度 $–$ 80度 を計算すると80度が答えになります。

答え：360度 $–$ 110度 $–$ 90度 $–$ 80度、80度

問3

二等辺三角形の下の2つの角は同じ大きさになるので、アの角度2個分の大きさは180度から40度を引いて140度になります。アの角度2個分で140度なので、アの角度は70度になります。

答え：70度

応用問題

問1

この問題の三角形の内角の和は50度と60度と80度を足すと190度になります。三角形の内角の和は常に180度になるので、3つの角の大きさが50度、60度、80度になる三角形は作ることができません。

答え：内角の和が180度にならないので、作ることができない

問2

三角形の内角の1つの外側の角が130度と分かっているので、180度から130度を引いて50度が内角の大きさになります。三角形の内角の和は180度なので、180度から60度と50度を引いて70度が答えになります。

答え：70度

問3

四角形の内角の和は360度なので、360度から50度を2つ引くとアの角度2個分の大きさが260度になることが分かります。アの角度2個分で260度なので、アの角度は130度になります。

答え：130度