容積の求め方（内のりと体積の違い）

容積の 求め方とは

水そうや箱の中に、水や空気がどれだけ入るかを表すかさを「容積（ようせき）」といいます。

箱には「板の厚さ」があるため、外側から測った長さ（体積）を使って計算すると、入れられる水の量よりも大きくなってしまいます。そのため、容積を求めるには、箱の内側から測った長さ（内のり）を計算して、「（内のりのたて）$\times$（内のりの横）$\times$（内のりの深さ）」で求めます。

計算の ルール

1. 内のりのたて・横

内のりのたて $=$ 外側のたて $–$（厚さ $\times 2$）

内のりの横 $=$ 外側の横 $–$（厚さ $\times 2$）

2. 内のりの深さ（ふたなしの箱）

内のりの深さ $=$ 外側の高さ $–$ 厚さ（底の分だけなので1回引く）

3. 内のりの深さ（ふたありの箱）

内のりの深さ $=$ 外側の高さ $–$（厚さ $\times 2$）

4. 容積の求め方

内のりの長さを使って、たて $\times$ 横 $\times$ 深さ を計算すると容積が求まります。

例題

問1

内のりが、たて $20\text{cm}$、横 $30\text{cm}$、深さ $15\text{cm}$ の 水そうが あります。この 水そうの 容積は 何cm³ですか。

問2

板の 厚さが $1\text{cm}$ で、ふたの ない 直方体の 箱が あります。外側の 長さが、たて $12\text{cm}$、横 $16\text{cm}$、高さ $11\text{cm}$ の とき、この 箱の 容積は 何cm³ですか。

解説

問1

内のりのたて、横、深さが分かっているので、たて $\times$ 横 $\times$ 深さで水そうの容積が求められます。$20\times 30\times 15$ をすると答えは $9000{\text{cm}}^3$ になります。

答え：$9000{\text{cm}}^3$

問2

外側のたて、横、高さが分かっていて、板の厚さが $1\text{cm}$ なので、内のりのたてが $10\text{cm}$、横が $14\text{cm}$、深さが $10\text{cm}$ になります。水そうの容積はたて $\times$ 横 $\times$ 深さで求められるので、$10\times 14\times 10$ をすると答えは $1400{\text{cm}}^3$ になります。

答え：$1400{\text{cm}}^3$

練習問題

問1

内のりが、たて $5\text{cm}$、横 $10\text{cm}$、深さ $8\text{cm}$ の 容器の 容積は 何cm³ですか。

問2

図の 容器の 容積を 求めましょう。

問3

厚さ $1\text{cm}$ の 板で 作られた「ふたの ある」立方体の 箱が あります。この 箱の 容積を 求めましょう。（ヒント：ふたが ある ときは、深さからも 厚さを 2回 引きます）

応用問題

問1

内のりが、たて $10\text{cm}$、横 $20\text{cm}$ の 水そうに、水が 深さ $8\text{cm}$ まで 入って います。入って いる 水の 体積は 何cm³ですか。

問2

内のりが、たて $10\text{cm}$、横 $15\text{cm}$ の 水そうに 水が 入って います。この 水そうに 石を 完全に しずめると、水面が $2\text{cm}$ 上がりました。しずめた 石の 体積は 何cm³ですか。（ヒント：増えた 分の 水の 体積が、石の 体積と 同じに なります）

問3

図のような 長方形の 厚紙の 四すみから、1辺が $5\text{cm}$ の 正方形を 切り取って、ふたの ない 箱を 組み立てます。紙の 厚さは 考えない ものと した とき、この 箱の 容積は 何cm³ですか。

解答と解説

練習問題

問1

内のりのたて、横、深さが分かっているので、たて $\times$ 横 $\times$ 深さで水そうの容積が求められます。$5\times 10\times 8$ をすると答えは $400{\text{cm}}^3$ になります。

答え：$400{\text{cm}}^3$

問2

外側のたて、横、高さが分かっていて、板の厚さが $3\text{cm}$ なので、内のりのたてが $20\text{cm}$、横が $40\text{cm}$、深さが $20\text{cm}$ になります。水そうの容積はたて $\times$ 横 $\times$ 深さで求められるので、$20\times 40\times 20$ をすると答えは $16000{\text{cm}}^3$ になります。

答え：$16000{\text{cm}}^3$

問3

外側のたて、横、高さが分かっていて、板の厚さが $1\text{cm}$ なので、内のりのたてが $10\text{cm}$、横が $10\text{cm}$、深さが $10\text{cm}$ になります。水そうの容積はたて $\times$ 横 $\times$ 深さで求められるので、$10\times 10\times 10$ をすると答えは $1000{\text{cm}}^3$ になります。

答え：$1000{\text{cm}}^3$

応用問題

問1

内のりのたて、横が分かっているので、水の体積はたて $\times$ 横 $\times$ 水の深さで求められます。$10\times 20\times 8$ をすると答えは $1600{\text{cm}}^3$ になります。

答え：$1600{\text{cm}}^3$

問2

石の体積は増えた水の体積と同じになります。内のりのたて、横が分かっているので、増えた水の体積はたて $\times$ 横 $\times$ 水の深さで求められます。$10\times 15\times 2$ をすると答えは $300{\text{cm}}^3$ になります。

答え：$300{\text{cm}}^3$

問3

紙の厚さを考えないので、箱のたてと横と深さを求めます。$5\text{cm}$ の正方形を切り取った時に内側にできる長方形のたてと横が箱のたてと横になるので、箱のたては $10\text{cm}$、横は $20\text{cm}$ です。箱の高さは $5\text{cm}$ の正方形で作られるので、高さは $5\text{cm}$ になります。箱の容積はたて $\times$ 横 $\times$ 深さで求められるので、$10\times 20\times 5$ をすると答えは $1000{\text{cm}}^3$ になります。

答え：$1000{\text{cm}}^3$