複合図形の体積（切り分けて考える）

複合図形の 体積とは

L字型や階段のような、へこみやでっぱりがある立体の体積は、公式をそのまま使うことができません。

しかし、立体をまっすぐに切り分けて「いくつかの直方体や立方体」に分ければ、それぞれの体積を計算して足し合わせることで全体の体積を求めることができます。また、空いている空間を「大きな直方体」と見立てて計算し、あとから「ない部分（空洞）」の体積を引くという考え方も便利です。

計算の ルール

1. 切り分けて足す方法

立体を2つ（または3つ）の直方体に切り分けます。それぞれの直方体のたて・横・高さを図から読み取り、「体積 $+$ 体積」で求めます。

2. 全体から引く方法

へこんでいる部分をうめて、1つの大きな直方体と考えます。「大きな直方体の体積 $–$ ない部分の体積」で求めます。

例題

問1

図のような 立体の 体積を 求めましょう。点線で 左右 2つの 直方体に 分けて 計算しましょう。

問2

図のような 立体の 体積を 求めましょう。全体を 大きな 直方体と 考えて、へこんで いる 部分の 体積を 引き算しましょう。

解説

問1

左側の直方体と右側の直方体の体積をそれぞれ求めます。直方体の体積はたて $\times$ 横 $\times$ 高さで求められるので、左側の直方体は $10\times 4\times 8$、右側の直方体は $10\times 5\times 3$ で求められます。左側の直方体が $320{\text{cm}}^3$、右側の直方体が $150{\text{cm}}^3$ なので、答えは $470{\text{cm}}^3$ になります。

答え：$470{\text{cm}}^3$

問2

全体の直方体とへこんでいる部分の直方体の体積をそれぞれ求めます。直方体の体積はたて $\times$ 横 $\times$ 高さで求められるので、全体の直方体は $10\times 9\times 8$、へこんでいる部分の直方体は $10\times 5\times 5$ で求められます。全体の直方体が $720{\text{cm}}^3$、へこんでいる部分の直方体が $250{\text{cm}}^3$ なので、答えは $470{\text{cm}}^3$ になります。

答え：$470{\text{cm}}^3$

練習問題

問1

図の 点線で 2つの 直方体に 分けて、立体の 体積を 求めましょう。

問2

この 立体の 体積を 求めましょう。

問3

真ん中の 四角い 穴の 部分を 引いて、立体の 体積を 求めましょう。

応用問題

問1

図の 立体の 体積は $336{\text{cm}}^3$ です。この とき、「ア」の 長さは 何cmに なりますか。

問2

この 立体の 体積は $232{\text{cm}}^3$ です。「ア」の 長さは 何cmですか。

問3

図のような 立体が あります。この 立体は 2つ 組み合わせると 大きな 1つの 直方体に なる ことが わかって います。2つ 組み合わせて 大きな 1つの 直方体の 体積を 求めてから、もとの 立体 1つ分の 体積を 計算で 求めて みましょう。