比例配分（比を使って全体を分ける）

比例配分とはなにか

全体の量やお金を、決められた比の通りに分けることを「比例配分（ひれいはいぶん）」といいます。

たとえば、アメ $10$ 個を兄と弟で $3:2$ の比で分けるとき、全体の割合は「$3+2=5$」になります。つまり、全体を $5$ つに分けたうちの「$3$ つ分」が兄、「$2$ つ分」が弟になります。このように、比の数を足して全体をいくつに分けるかを考えることがポイントです。

比例配分のルール

全体の量を $a:b$ の比で分けるとき

1. 全体の割合を出す

比の数字を足して、全体の割合を出します。（$a+b$）

2. 「1つ分」の量を求める

全体の量をその割合でわって、「$1$ つ分」の量を求めます。

3. それぞれの分を求める

求めた「$1$ つ分」の量に、それぞれの比（$a$ や $b$）をかけて答えを出します。※または、全体の量に分数 $\frac{a}{a+b}$ や $\frac{b}{a+b}$ をかけて一気に求めることもできます。

例題

問1

$1000$円を、姉と妹で $3:2$ の比になるように分けます。姉と妹の分はそれぞれいくらになりますか。

問2

$40$個のアメを、たろう君とはなこさんで $5:3$ になるように分けます。はなこさんの分は何個になりますか。

解説

問1

姉と妹の比の数字を足すと、全体の割合は $3+2=5$ になります。全体の $1000$ 円を $5$ つに分けると、「$1$ つ分」は $1000÷5=200$ 円です。姉は「$3$ つ分」なので $200\times 3=600$ 円、妹は「$2$ つ分」なので $200\times 2=400$ 円になります。

答え：姉：600円、妹：400円

問2

$2$ 人の比の数字を足すと、全体の割合は $5+3=8$ になります。$40$ 個を $8$ つに分けると、「$1$ つ分」は $40÷8=5$ 個です。聞かれているのははなこさん（$3$ つ分）なので、$5\times 3=15$ 個になります。

答え：15個

練習問題

問1

$60$枚のクッキーを、大人と子どもで $7:3$ になるように分けます。子どもの分は何枚ですか。

問2

あるクラスの人数は $36$ 人です。男子と女子の人数の比が $4:5$ のとき、男子は何人ですか。

問3

$120$個のみかんを、3つのグループで $3:4:5$ になるように分けます。一番多くもらえるグループのみかんは何個ですか。

応用問題

問1

あるお金を姉と妹で $5:3$ になるように分けたところ、姉の分は $1500$円 になりました。分ける前の全体のお金はいくらでしたか。

問2

まわりの長さが $40$ cm の長方形があります。たてと横の長さの比が $2:3$ のとき、この長方形の面積は何 ${\text{cm}}^2$ ですか。

問3

水とジュースを $2:5$ の比で混ぜて、$700$ mL の飲み物を作ります。その後、少し味がこいので水を $100$ mL 追加しました。新しい飲み物の、水とジュースの比をかんたんにして答えましょう。

解答と解説

練習問題

問1

大人と子どもの比を足すと、全体の割合は $7+3=10$ になります。$60$ 枚を $10$ に分けると、「$1$ つ分」は $60÷10=6$ 枚です。子どもの分は「$3$ つ分」なので、$6\times 3=18$ 枚になります。

答え：18枚

問2

男子と女子の比を足すと、全体の割合は $4+5=9$ になります。$36$ 人を $9$ つに分けると、「$1$ つ分」は $36÷9=4$ 人です。男子の人数は「$4$ つ分」なので、$4\times 4=16$ 人になります。

答え：16人

問3

$3$ つのグループの比をすべて足すと、全体の割合は $3+4+5=12$ になります。$120$ 個を $12$ に分けると、「$1$ つ分」は $120÷12=10$ 個です。一番多くもらえるのは比が「$5$」のグループなので、$10\times 5=50$ 個になります。

答え：50個

応用問題

問1

姉の「$5$ つ分」が $1500$ 円にあたります。そのため、「$1$ つ分」のお金は $1500÷5=300$ 円とわかります。全体の割合は $5+3=8$ なので、分ける前の全体のお金は $300\times 8=2400$ 円になります。（※妹の分を $300\times 3=900$ 円と計算し、$1500+900=2400$ 円と求めても正解です！）

答え：2400円

問2

まわりの長さが $40$cmの長方形は、たてと横を1つずつ足した長さがその半分の $40÷2=20$cmになります。この $20$cmを $2:3$ で分けます。全体の割合は $2+3=5$ なので、「$1$ つ分」は $20÷5=4$cmです。たては $4\times 2=8$cm、横は $4\times 3=12$cmになります。長方形の面積は「たて $\times$ 横」なので、$8\times 12=96$ となり、$96{\text{cm}}^2$ になります。

答え：$96{\text{cm}}^2$

問3

まず、最初の水とジュースの量を求めます。全体の割合は $2+5=7$ なので、「$1$ つ分」は $700÷7=100$mLです。最初の水は $100\times 2=200$mL、ジュースは $100\times 5=500$mLです。ここに水を $100$mL追加するので、水は $200+100=300$mLになります。新しい水とジュースの量は $300$mLと $500$mLなので、比は $300:500$ になります。これをかんたんにして、答えは $3:5$ になります。

答え：3:5