最小公倍数の見つけ方（すだれ算）

最小公倍数の 見つけ方（すだれ算）とは

公倍数の中で一番小さい数を「最小公倍数（さいしょうこうばいすう）」と言います。公倍数は、最小公倍数の倍数になっているという重要な性質があります。数が大きくなると倍数を書き出して見つけるのが大変になるため、「すだれ算（連除法）」という計算方法を使います。2つの数を並べて共通に割れる数で割っていくことで、簡単に最小公倍数を求めることができます。

計算の ルール

1. 2つの数を横に並べる

2つの数を横に並べて書き、わり算の筆算を逆さまにしたような線を引きます。

2. 共通に割れる数で割る

2つの数を両方ともわり切れる一番小さな数（$2$ や $3$ や $5$ など）で割って、商（答え）を下に書きます。

3. 割り切れなくなるまで繰り返す

2つの数を両方ともわり切れる数がなくなるまで、わり算を繰り返します。

4. すべて掛け算する

わり切れなくなったら、左側に並んだ数と、一番下にある数をすべて掛け算します。その答えが最小公倍数です。

例題

問1

12と 18の 最小公倍数を 求めましょう。

問2

6と 8の 最小公倍数は $24$ です。では、6と 8の 公倍数を 小さい 方から 3つ 書きましょう。

解説

問1

すだれ算をして、左側に並んだ数と一番下の数をすべて掛けると、$2\times 3\times 2\times 3=36$ になります。

答え：36

問2

公倍数は最小公倍数の倍数になっているというきまりがあります。最小公倍数の $24$ に $1$、$2$、$3$ …を順に掛けると、$24\times 1=24$、$24\times 2=48$、$24\times 3=72$ となります。

答え：24、48、72

練習問題

問1

14と 21の 最小公倍数を 求めましょう。

問2

4と 10の 最小公倍数を 求めましょう。また、その 最小公倍数を 使って、公倍数を 小さい 方から 3つ 書きましょう。

問3

最小公倍数が「$30$」に なるような 2つの 数の 組み合わせを、1つ 考えて 書きましょう。

応用問題

問1

3つの 数「4、6、8」の 最小公倍数を、すだれ算を 使って 求めて みましょう。

問2

1周 $400\text{m}$ の トラックを、A君は 1周につき 80秒、B君は 1周につき 100秒で 走ります。同時に スタートした とき、次に 2人が スタート地点で 出会うのは 何秒後 ですか。

問3

ある 数を 6で 割っても、8で 割っても、あまりが $1$ に なります。この ような 数の 中で、一番 小さい 数は いくつ ですか。（ヒント：最小公倍数に $1$ を 足します）

解答と解説

練習問題

問1

すだれ算をして、左側に並んだ数と一番下の数をすべて掛けると、$7\times 2\times 3=42$ になります。したがって、最小公倍数は $42$ です。

答え：42

問2

すだれ算をして、左側に並んだ数と一番下の数をすべて掛けると $2\times 2\times 5=20$ となり、最小公倍数は $20$ です。公倍数は最小公倍数の倍数になるので、$20$ に $1$、$2$、$3$ …を掛けた $20$、$40$、$60$ になります。

答え：最小公倍数は20、公倍数は20、40、60

問3

すだれ算をして、左側の数と一番下の数を掛け合わせた答えが「$30$」になる2つの数の組み合わせを考えます。共通して割れる数が「$1$」しかない「$5$」と「$6$」を並べると、$1\times 5\times 6=30$ となり、最小公倍数が $30$ になります。

答え：5と6（「6と10」や「10と15」なども正解です）

応用問題

問1

すだれ算をして、左側に並んだ数と一番下の数をすべて掛けると、$2\times 2\times 1\times 3\times 2=24$ になります。3つの数のすだれ算では、3つの数全部をわり切れなくても、2つの数を割り切れる数があれば計算を続けます。その場合、割れない数はそのまま下に下ろします。

答え：24

問2

A君がスタート地点に戻ってくる時間は80秒の倍数（80秒後、160秒後 $\cdots$）、B君が戻ってくる時間は100秒の倍数（100秒後、200秒後 $\cdots$）です。したがって、次に同時に出会う時間は80と100の最小公倍数になります。すだれ算をすると、$2\times 2\times 5\times 4\times 5=400$ になるため、答えは400秒後です。

答え：400秒後

問3

あまりの「$1$」を引いて考えると、その数は「6でも8でも割り切れる数（6と8の公倍数）」と言えます。6と8ですだれ算をして、最小公倍数を求めると $2\times 3\times 4=24$ になります。あまりが $1$ になるように $1$ を足すと、$24+1=25$ です。

答え：25