目次
場合の数とは？
はじめに、場合の数とはどんなものなのかについて解説します。
場合の数は「確率」に関連した中学受験算数です。
ある事柄や出来事について、起こりうるすべてのパターンが「何通りあるか」を数え上げたり計算したりして求めます。
一般的には中学や高校の数学で学習しますが、中学受験では算数の中で基礎部分を扱います。
場合の数以外の中学受験算数
中学受験では、場合の数以外にも特殊算があります。
- 和差算：和と差から元の2つの数を求める問題に使う
- つるかめ算：合計の個数と合計の重さ・金額などから、それぞれの種類の個数を求める
- 過不足算・差集め算：同じ数ずつ配ったときの「足りない・余る」情報から人数などを求める
- 流水算・通過算：旅人算の同じく「速さ」に関連する計算問題
「場合の数」でつまずく理由
「場合の数」は高校数学で習う確率に関する分野です。
中学受験算数では高校数学を先取りする形になりますが、実は算数特有の条件などもあり注意が必要です。
ここでは中学受験算数において「場合の数」でつまずいてしまう原因を解説します。
問題文の意味を正しく理解できない
「場合の数」で重要なのは、条件を正しく理解することです。
例えば次のような問題では、指定された条件を全て正確に理解することが大切です。
| 【問題例】 0,1,5,8の４枚のカードのうち3枚を並び替えて3桁の整数を作ります。このとき何通りの整数が作れますか。ただし、0は百の位に入らないことに注意しましょう。 |
「3桁の数字」ということから、
- 0から始まることはない
- 百の位にも0を入れてはいけない
といった細かい条件を見落とさず読み取る必要があります。
読解力が未発達な小学生にとって、複数の条件を確実に押さえるというのは意外と簡単ではありません。
過不足なく数え上げられない
場合の数は端的に言えば、「モレなく、ダブりなく」数え上げること。
「同じ数字のカードが2枚ある」「同じ数字は2回使えないものとする」「A君とB君は隣り合わないものとする」といった複雑な条件に従い、全ケースを抜け漏れなくかぞえたり、重複するケースを除外したりといった、地道な作業が基本です。
高校数学のような公式で計算する問題とは違い、算数では根気強く丁寧に数え上げる力も試されるので、こうした地味な作業が好きではないと苦手意識を持ちやすい単元です。
問題のパターンが多い
場合の数は、大きく分ければ「順列」と「組み合わせ」の2つが基本です。
ただし、数えるものや付帯条件によって、一見似ていても同じ解き方が通用しません。
つまり基本の解法は押さえた上で、問題条件に合わせて具体的に対応していく必要があります。
樹形図を使った書き出しのコツ
場合の数をマスターするポイントは、まずは公式に頼らず「自分の手で正確に全て書き出すこと」です。
ここでは、場合の数の最も基本的なツール「樹形図」について解説します。
1.縦のラインを揃える
樹形図をきれいに書くコツは、枝の縦のラインをきれいに揃えることです。
ここが乱れると、自分で枝の数を数え間違える原因になります。
算数全般に言えることですが、途中式や図をきっちりと書ける子は成績を伸ばすことができます。
2.順番に書き出す
適当に思いついた順に書き出すのはNG。
数字の大きい（小さい）順、あいうえお順、問題文に出てきた順で、男子（女子）から、など、自分の中で明確なルールに従うことで数え忘れを防げます。
3.さぼらず樹形図を書く
少し慣れてくると、樹形図を書くのが面倒に感じられるかもしれません。
しかし「困ったら、とにかく樹形図を書く」と、戻るべき場所として樹形図を大切にしましょう。
一見、時間がかかるように見える樹形図ですが、サボらずに書くことで「あ、ここで規則性が変わるな」「ここからは同じパターンの繰り返しだから計算に切り替えられるな」というパターンの構造が目に見えてきます。
この「構造を見抜く力」こそが、応用問題を解くための土台になります。
どっちを使う？「順列」と「組み合わせ」の明確な違い
樹形図を正確に書き出せるようになると、「順列」と「組み合わせ」の使い分けもスムーズに理解できます。
【順列（並べ方）】：選んで「並べる」＝順番が関係あるケース
順列とは、いくつかのものから選んで「順番に並べる」ときの数え方です。
| 【問題例】 0,1,5,8の４枚のカードのうち3枚を並び替えて3桁の整数を作ります。このとき何通りの整数が作れますか。 |
先ほどと同じ問題ですが、こちらは一枚ずつカードを引いていくイメージ。
158と851では異なる整数になるので、順番が関係あるケース、つまり「順列」となります。
【組み合わせ（選び方）】：選ぶだけ＝順番は関係ないケース
| 【問題例】 0,1,5,8の４枚のカードのうち3枚を選びます。選び方は何通りありますか？ |
こちらも同じ4枚のカードから3枚を選びますが、先ほどと異なりいっぺんに3枚を選ぶイメージ。
選ばれる順番は関係ないので、158に851も区別しないケース、つまり「組み合わせ」になります。
具体的な例で考えてみよう
お子さんに説明していても、いまいちピンと来ていないなと感じることがあるかもしれません。
そういう時は、子どもにとって身近な例で考えてみると分かりやすいです。
- 問題①： 5人の中から、「学級委員長」と「副委員長」を1人ずつ選ぶ方法は何通り？
- 問題②： 5人の中から、「リレーの選手」を2人選ぶ方法は何通り？
どちらが順列でどちらが組み合わせでしょうか？
問題①は、選ばれた2人の役割（順番）が関係あるので「順列」です。
「Aさんが学級委員長、Bさんが副委員長」と「Bさんが学級委員長、Aさんが副委員長」は別のパターンとして区別する必要があります。
問題②は、2人ともリレーの選手という役割に違いはないので「組み合わせ」になります。
ただしアンカーを誰にするか、といったことも考慮するなら順列になりますよ
ね。
こんなふうに、小学生にとって身近な例で考えてみると、文章問題の読解もスムーズにできることが多いです。
中学受験で頻出の「場合の数」4大パターン
場合の数には、入試で形を変えて何度も出題される「4つの王道パターン」があります。
これらが出たら「あの解き方だ！」とすぐに手が動くレベルまで引き上げましょう。
① カード・サイコロ（数字を作る）
カードは「0、1、2、3、4のカードから3枚を選んで3桁の整数を作る」といった順列の問題です。0がある（最上位の位に0を置けない）、偶数（奇数）のみ、大きい方から3番目、など細かい条件がつくことが多いので、抜け漏れなく数える力が試されます。
サイコロは「二つのサイコロの出目を足すと偶数になるのは何通りあるか」といった組み合わせの問題です。二つのサイコロや施行回数を区別する場合には順列になるので、問題文を正確に読み取る読解力が試されます。
② 道順（最短ルートの数え上げ）
碁盤の目のようになった道路を進む最短ルートの数を求める問題です。
通る道を順番に並べていくと考え、順列で解くことができますが、経由する道（経由しない道）が指定されていたり、片道か往復かなどの条件があったりといったパターンがあります。
③ 色塗り（平面図形の塗り分け）
いくつかのエリアに区切られた図形を、指定された色数で塗り分ける問題です。
基本的なアプローチは、各エリアに名前をつけ順列を使ってぬり方を数え上げる方法です。
よくある条件は「隣り合うエリアには同じ色を塗ってはいけない」というものです。
④ チーム対戦（総当たり戦・トーナメント戦）
スポーツの試合形式に関する問題です。
- 総当たり戦（リーグ戦）： 全てのチームが1回ずつ対戦します。これは「組み合わせ」の考え方そのものです。5チームなら、5チームから2チームを選ぶ組み合わせです。
- トーナメント戦： 1回負けたら終わりの勝ち抜き戦です。最終的に勝ち残るのは1チームなので、負けたチームの数は＝試合数となります。
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まとめ：「場合の数」は手を動かした数だけ得意になる！
中学受験の算数における「場合の数」は、決してひらめきや才能が必要な分野ではありません。
条件を正確に読み取れる基本的な読解力を身につけた上で、根気強く樹形図や表に書き出し、丁寧に数え上げる訓練を繰り返せば確実に得点源にできます。
苦手に感じている場合も、まずは手を動かすことから始めてみましょう。
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代表取締役CEO
